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100盏灯泡的开关问题

分类: 算法编程  |  标签: 算法  |  作者: health747474 相关  |  发布日期 : 2014-05-06  |  热度 : 112°
问题:
有100盏灯泡,第一轮点亮所有电灯,第二轮每两盏灯熄灭一盏,即熄灭第2盏,第4盏,以此类推,第三轮改变编号为3的倍数的电灯,第3盏,第6盏,如果原来那盏灯是亮的,就熄灭它,如果原来是灭的,就点亮它,以此类推,直到第100轮。问第100结束后,还有多少盏灯泡是亮的?


解答:
由题意最如果最后某一盏灯是亮着的,那么它一定是被切换了奇数次(第0次的时候全部都关着)。
首先来看一下6这盏灯,它被切换的次数是第1次(轮),第2次,第3次和第6次。
可以看出如果某一轮6被切换了,那么该轮数一定可以整数6,即是6的约数,由于约数是成对出现的,所以6被关掉的次数是偶数次。
但是对于像4,16这样的完全平方数,由于他们都有一个约数k 使得 K的平方等于该完全平方数,所以其被关掉的次数应该为奇数,因为K只能被算一次。


所以该问题的答案是只有1-100的完全平方数,才是亮着的。
即1,4,9,16,25,36,49,64,81,100这10盏灯亮着。


*备注:
完全平方数:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数