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BZOJ 1041 HAOI2008 圆上的整点 数论

分类: BZOJ  |  标签: BZOJ,BZOJ1041,数论  |  作者: popoqqq 相关  |  发布日期 : 2014-10-14  |  热度 : 178°

题目大意:给定一个半径为为r的圆x^2+y^2=r^2,求圆上多少个点的坐标为整数

卡了很久的一道题。。。我之前用了两个公式,理论上可以O(√n)出解,可惜这两个公式并不能涵盖所有勾股数。。。

于是去找了下题解,发现这样一种方法:(原帖地址: http://www.cppblog.com/zxb/archive/2010/10/18/130330.html )

x^2+y^2=r^2

化简为 y^2=(r-x)(r+x)

我们令d=gcd(r-x,r+x)

则(r-x)/d与(r+x)/d一定互质,二者相乘为完全平方数,则二者一定都为完全平方数

令r-x=d*u^2,r+x=d*v^2

则有u,v互质,u<v

其中x=d(v^2-u^2)/2

        y=d*u*v

        r=d*(u^2+v^2)/2

枚举2r的因数d,对于每个d我们用O[√(r/d)]的时间枚举u 代入r的计算式得出v^2 计算v^2是否为完全平衡数及u与v是否互质

这样可以枚举出一个象限内的整点个数 然后输出(ans+1)*4即可

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll r,ans;
ll factors[100100];
int tot;
void Get_Factors(ll x)
{
	ll i;
	for(i=1;i*i<x;i++)
		if(x%i==0)
			factors[++tot]=i,factors[++tot]=x/i;
	if(i*i==x)
		factors[++tot]=i;
}
ll GCD(ll x,ll y)
{
	return y?GCD(y,x%y):x;
}
bool Is_Square(ll x)
{
	double temp=sqrt( (double)x );
	if(fabs(floor(temp+1e-7)-temp)<1e-7)\
		return true;
	return false;
}
int main()
{
	cin>>r;
	int i;
	ll u;
	Get_Factors(r<<1);
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		ll d=factors[i];
		for(u=1;u*u<(r+1)/d;u++)
		{
			ll v_2=r*2/factors[i]-u*u;
			if( Is_Square(v_2) )
				if(GCD(v_2,u*u)==1)
					++ans;
		}
	}
	cout<<(ans+1<<2)<<endl;
}